Admi-Tec
Difícil
Triángulos

Ejercicio de Geometría

En un triángulo ABC, se traza la ceviana BP‾\overline{BP}, tal que AB=APAB=AP. Si m∠PCB−m∠PBC=10°m\angle PCB - m\angle PBC = 10°, calcule la diferencia entre el máximo y mínimo valor entero de la medida del ángulo C.

Ver solución paso a paso
  1. Como AB=APAB=AP, el triángulo ABP es isósceles: ∠ABP=∠APB=θ\angle ABP=\angle APB=\theta, y ∠A=180°−2θ\angle A = 180°-2\theta, entonces θ=90°−A2\theta=90°-\dfrac{A}{2}.
  2. Como A, P, C son colineales: ∠BPC=180°−θ=90°+A2\angle BPC = 180°-\theta = 90°+\dfrac{A}{2}.
  3. En el triángulo BPC: ∠PBC+∠PCB=180°−∠BPC=90°−A2\angle PBC+\angle PCB = 180°-\angle BPC = 90°-\dfrac{A}{2}.
  4. Con ∠PCB−∠PBC=10°\angle PCB-\angle PBC=10°: ∠PCB=50°−A4\angle PCB = 50°-\dfrac{A}{4} y ∠PBC=40°−A4\angle PBC=40°-\dfrac{A}{4}.
  5. Como ∠C=∠PCB\angle C=\angle PCB (P está sobre AC): C=50°−A4C = 50°-\dfrac{A}{4}.
  6. Restricciones: ∠PBC>0⇒A<160°\angle PBC>0 \Rightarrow A<160°, y A>0°A>0°. Entonces CC varía en el intervalo abierto (10°,50°)(10°, 50°).
  7. Los valores enteros posibles de C van de 11° a 49°. La diferencia entre el máximo y el mínimo es 49−11=38°49-11=38°.

Respuesta: D) 38°