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Medio
Sólidos geométricos
UNI

Ejercicio de Geometría — UNI

Un prisma triangular regular está circunscrito a una esfera de radio rr. Determine el área total del prisma.

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Pista: la esfera es tangente a las dos bases, así que la altura del prisma es 2r2r. En la base equilátera, rr funciona como inradio.

1. Si ss es el lado del triángulo equilátero de la base, su inradio cumple

r=s36.r=\frac{s\sqrt3}{6}.

De aquí,

s=23 r.s=2\sqrt3\,r.

2. La altura del prisma es el diámetro de la esfera:

h=2r.h=2r.

3. El área lateral es perímetro de la base por altura:

AL=3s h=3(23r)(2r)=123 r2.A_L=3s\,h=3(2\sqrt3r)(2r)=12\sqrt3\,r^2.

4. El área de una base equilátera es

AB=34s2=34(23r)2=33 r2.A_B=\frac{\sqrt3}{4}s^2 =\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt3r)^2 =3\sqrt3\,r^2.

Las dos bases aportan 63 r26\sqrt3\,r^2.

5. Por tanto,

AT=123 r2+63 r2=183 r2.A_T=12\sqrt3\,r^2+6\sqrt3\,r^2=18\sqrt3\,r^2.

Respuesta: E