Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: primero determina el campo de valores admisibles (CVA) de todas las raíces involucradas, y luego resuelve la inecuación elevando al cuadrado con cuidado.)

1. (Determinamos el CVA) Para que las raíces existan se necesita $1 - x \geq 0$, $2 - x \geq 0$ y $4 - \sqrt{1-x} \geq 0$. De estas condiciones se obtiene $x \leq 1$, $x \leq 2$ y $\sqrt{1-x} \leq 4$ (esta última se cumple siempre dentro del rango anterior). Combinando todo: $CVA = [-15; 1]$

2. (Aislamos una de las raíces) De la inecuación original: $\sqrt{4-\sqrt{1-x}} \geq \sqrt{2-x}$ Elevamos al cuadrado ambos lados (válido porque ambos son no negativos): $4 - \sqrt{1-x} \geq 2 - x \;\Leftrightarrow\; x + 2 \geq \sqrt{1-x}$

3. (Elevamos al cuadrado nuevamente, cuidando la condición $x+2\geq 0$) $x^2 + 4x + 4 \geq 1 - x \quad \text{y} \quad x + 2 \geq 0$ $x^2 + 5x + 3 \geq 0 \quad \text{y} \quad x \geq -2$

4. (Resolvemos la inecuación cuadrática) Las raíces de $x^2+5x+3=0$ son $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$. Analizando el signo de la parábola (positiva fuera de las raíces), y combinando con $x \geq -2$, se obtiene: $Sp = \left[\frac{-5+\sqrt{13}}{2}; +\infty\right\rangle$

5. (Intersectamos con el CVA) $C.S. = CVA \cap Sp = \left[\frac{-5+\sqrt{13}}{2}; 1\right]$ Comparando con la forma dada $\left[\frac{-5+\sqrt{a}}{2}; b\right\rangle$, identificamos $a = 13$ y $b = 1$.

6. (Calculamos lo pedido) $\frac{a+b}{7} = \frac{13+1}{7} = 2$ que corresponde a la alternativa C.