Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: aquí tenemos un logaritmo "dentro" de otro logaritmo. La condición para el logaritmo exterior ($\ln$) es que su argumento sea positivo, y ese argumento es a su vez otro logaritmo — así que terminamos con dos condiciones anidadas que debemos resolver de afuera hacia adentro.

1. Condición del $\ln$ exterior: necesitamos $\log_{1/3}(7-x^2)>0$.

2. Como la base $\dfrac{1}{3}$ es menor que 1, el logaritmo en esa base es una función decreciente: $\log_{1/3}(7-x^2)>0=\log_{1/3}(1)$ implica $7-x^2<1$ (la desigualdad se invierte al "quitar" un logaritmo de base menor que 1).

3. De $7-x^2<1$: $x^2>6 \Rightarrow x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty)$.

4. Condición implícita del logaritmo interior: para que $\log_{1/3}(7-x^2)$ exista, necesitamos $7-x^2>0 \Rightarrow x^2<7 \Rightarrow x\in(-\sqrt7;\sqrt7)$.

5. Intersectamos ambas condiciones: $x\in(-\sqrt7;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;\sqrt7)$.

6. Numéricamente, $\sqrt6\approx2,449$ y $\sqrt7\approx2,646$. Cada uno de estos dos intervalos mide apenas $\sqrt7-\sqrt6\approx0,197$ de longitud — demasiado angostos como para contener algún entero (el entero más cercano, $\pm2$, cae fuera de ambos rangos).

7. Por lo tanto, $B$ no contiene ningún número entero.

Respuesta: A) 0