Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: este es exactamente el escenario del teorema de la bisectriz interior, que afirma que la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Al reconocer esto de entrada, evitamos tener que introducir variables auxiliares.

1. Como $\overline{BR}$ es la bisectriz del ángulo B, el teorema de la bisectriz interior nos dice directamente que divide al lado opuesto AC en la misma razón que los lados adyacentes AB y BC: $\frac{AR}{RC}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$

2. Como $AR+RC=AC=b$, podemos escribir $RC=b-AR$, y sustituir en la proporción: $\dfrac{AR}{b-AR}=\dfrac{c}{a}$.

3. Multiplicando en cruz: $a\cdot AR=c(b-AR)=cb-c\cdot AR$.

4. Agrupando los términos con $AR$: $a\cdot AR+c\cdot AR=cb \Rightarrow AR(a+c)=bc$.

5. Despejando: $AR=\dfrac{bc}{a+c}$.

Respuesta: A) $\dfrac{bc}{a+c}$