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Medio
Números complejos
UNMSM · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

Dados los números complejos z1=3+2iz_1 = 3 + 2i y z2=4+iz_2 = 4 + i, determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:

I. El producto de ambos es z1⋅z2=10+11iz_1 \cdot z_2 = 10 + 11i.

II. El módulo de la diferencia de ellos es ∣z2−z1∣=∣−1−i∣=2|z_2 - z_1| = |-1-i| = \sqrt{2}.

III. La suma de sus conjugados es z1‾+z2‾=−7−3i\overline{z_1} + \overline{z_2} = -7 - 3i.

IV. El cociente de ambos es z1z2=34+2i\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{4} + 2i.

Ver solución paso a paso

I. (3+2i)(4+i)=12+3i+8i+2i2=12+11i−2=10+11i(3+2i)(4+i)=12+3i+8i+2i^2=12+11i-2=10+11i → verdadera.

II. z2−z1=1−iz_2-z_1=1-i, y ∣1−i∣=12+(−1)2=2|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2} → verdadera.

III. z1‾+z2‾=(3−2i)+(4−i)=7−3i\overline{z_1}+\overline{z_2}=(3-2i)+(4-i)=7-3i, que no coincide con −7−3i-7-3i → falsa.

IV. Racionalizando, 3+2i4+i⋅4−i4−i=14+5i17\dfrac{3+2i}{4+i}\cdot\dfrac{4-i}{4-i}=\dfrac{14+5i}{17}, distinto de 34+2i\dfrac34+2i → falsa.

Rpta.: VVFF