Ejercicio de Áreas y volúmenes

En un triángulo acutángulo ABC, cuya área de su región es $30\ \mu^2$ , se prolonga $\overline{BA}$ y $\overline{BC}$ hasta los puntos P y Q respectivamente, de modo que BP = 3(AB) y BQ = 3(BC). Calcule el área de la región del cuadrilátero PACQ.

[Falta imagen obligatoria: triángulo ABC con el lado BA prolongado más allá de A hasta un punto P (de modo que BP=3·AB), y el lado BC prolongado más allá de C hasta un punto Q (de modo que BQ=3·BC); el cuadrilátero PACQ se forma uniendo P, A, C y Q.]

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Pista: Compara el triángulo grande PBQ (que comparte el ángulo B con ABC) usando la propiedad de que la razón de áreas de dos triángulos que comparten un ángulo es igual al producto de las razones de los lados que lo forman.

1. Reconocer que el triángulo PBQ comparte el ángulo B con el triángulo original ABC, y que sus lados están relacionados por $BP=3(AB)$ y $BQ=3(BC)$ .

2. Aplicar la relación de áreas de triángulos que comparten un ángulo: la razón de áreas es igual al producto de las razones de los lados que forman dicho ángulo: $\dfrac{\mathbb{A}_{PBQ}}{\mathbb{A}_{ABC}}=\dfrac{BP}{AB}\times\dfrac{BQ}{BC}=3\times 3=9$ .

3. Calcular el área de PBQ: $\mathbb{A}_{PBQ}=9\times 30=270\ \mu^2$ .

4. Obtener el área del cuadrilátero PACQ restando el área del triángulo original: $\mathbb{A}_{PACQ}=\mathbb{A}_{PBQ}-\mathbb{A}_{ABC}=270-30=240\ \mu^2$ .

Ejercicio de Geometría — PUCP