Ejercicio de Polígonos regulares convexos

En la figura se muestra un alambre de longitud $r$ y un polígono regular de $n$ lados y longitud de lado $L$ . Si el punto $P$ gira en el sentido indicado, formando arcos de circunferencias hasta envolver una sola vez todo el contorno de la región poligonal, entonces ¿cuál es la longitud que recorre el punto $P$ ?

Ver solución paso a paso

Pista: cada giro alrededor de un vértice corresponde al ángulo exterior $\frac{2\pi}{n}$ ; los radios de los arcos forman la sucesión $nL,(n-1)L,\ldots,L$ .

1. Para envolver una vez el contorno, la longitud efectiva inicial del alambre corresponde al perímetro del polígono:

r=nL.

2. En cada vértice, el punto $P$ describe un arco cuyo ángulo central es el ángulo exterior del polígono regular:

\frac{2\pi}{n}.

Los radios sucesivos son

nL,(n-1)L,(n-2)L,\ldots,L.

3. La longitud total recorrida es

\mathcal L=\frac{2\pi}{n}L\,[n+(n-1)+\cdots+1].

4. Como

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,

se obtiene

\mathcal L=\frac{2\pi}{n}L\cdot\frac{n(n+1)}2 =\pi L(n+1).

Respuesta: B

Ejercicio de Geometría — UNI