Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: en lugar de buscar triángulos notables ocultos con trazos auxiliares, aquí conviene usar directamente la ley de senos en dos triángulos que comparten el lado AC: primero el triángulo ACD (donde conocemos CD y dos ángulos) para hallar AC, y luego el triángulo ABC (donde conocemos AC y dos ángulos) para hallar BC.

1. En el triángulo ACD: conocemos $m\angle DAC=20^\circ$ y $m\angle ACD=10^\circ$, así que el tercer ángulo es $m\angle ADC=180^\circ-20^\circ-10^\circ=150^\circ$.

2. Aplicamos la ley de senos para relacionar el lado conocido CD con el lado que buscamos, AC: $\frac{CD}{\text{sen}(\angle DAC)}=\frac{AC}{\text{sen}(\angle ADC)}$

3. Despejando: $AC=\dfrac{CD\cdot\text{sen}(150^\circ)}{\text{sen}(20^\circ)}=\dfrac{12\times0,5}{\text{sen}(20^\circ)}=\dfrac{6}{\text{sen}(20^\circ)}$.

4. En el triángulo ABC: conocemos $m\angle BAC=20^\circ$ y $m\angle BCA=40^\circ$, así que $m\angle ABC=180^\circ-20^\circ-40^\circ=120^\circ$.

5. Aplicamos nuevamente la ley de senos, ahora para hallar BC a partir de AC: $\frac{BC}{\text{sen}(\angle BAC)}=\frac{AC}{\text{sen}(\angle ABC)} \Rightarrow BC=\frac{AC\cdot\text{sen}(20^\circ)}{\text{sen}(120^\circ)}$

6. Sustituyendo el valor de AC obtenido en el paso 3, el $\text{sen}(20^\circ)$ se cancela — una simplificación que confirma que este camino era el adecuado: $BC=\frac{6}{\text{sen}(20^\circ)}\times\frac{\text{sen}(20^\circ)}{\text{sen}(120^\circ)}=\frac{6}{\text{sen}(120^\circ)}=\frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$

Respuesta: B) $4\sqrt3$