Ejercicio de Álgebra — PUCP

Pista: Convierte las raíces a exponentes fraccionarios con índice común 6 y factoriza para reconocer una diferencia que permita racionalizar con el factor adecuado.

1. Reescribir $\sqrt{a}$ y $\sqrt[3]{a}$ con índice común 6: $\sqrt{a}=\sqrt[6]{a^3}$ y $\sqrt[3]{a}=\sqrt[6]{a^2}$, de modo que el denominador queda como $\sqrt[6]{a^2}\left(\sqrt[6]{a}-1\right)$.

2. Racionalizar cada factor por separado: para $\sqrt[6]{a^2}$ se multiplica por $\sqrt[6]{a^4}/\sqrt[6]{a^4}$; para $\left(\sqrt[6]{a}-1\right)$ se multiplica por la suma de potencias que completa una diferencia de sextas potencias: $\sqrt[6]{a^5}+\sqrt[6]{a^4}+\sqrt[6]{a^3}+\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{a}+1$.

3. Simplificar el denominador resultante a $a(a-1)$, quedando el numerador como la suma $\sqrt[6]{a^9}+\sqrt[6]{a^8}+\sqrt[6]{a^7}+\sqrt[6]{a^6}+\sqrt[6]{a^5}+\sqrt[6]{a^4}$.

4. Identificar que uno de los términos pedidos del numerador es $\sqrt[6]{a^7}=a^{7/6}$.