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UNMSM · 2026

Ejercicio de Álgebra — UNMSM

El número de hijos de Juan es b−ab-a, donde [a,b][a,b] es el dominio en el que la función f(x)=∣−x2+2ax+4−a2∣f(x) = |-x^2+2ax+4-a^2|, con a>0a>0, es inyectiva. Determine cuántos hijos tiene Juan.

Ver solución paso a paso

Cuando el valor absoluto envuelve a una parábola, conviene primero reescribir esa parábola en su forma de vértice: así se ve de inmediato dónde "se dobla" la gráfica y en qué tramo la función puede ser inyectiva.

  1. Reescribimos el argumento: −x2+2ax+4−a2=−[(x−a)2−4]-x^2+2ax+4-a^2 = -[(x-a)^2-4], así que f(x)=∣(x−a)2−4∣f(x) = |(x-a)^2-4|.
  2. Esta función parte de una parábola con vértice en (a,−4)(a,-4), y al aplicarle valor absoluto, la parte que estaba por debajo del eje se "refleja" hacia arriba, generando una curva en forma de "V" invertida entre x=ax=a y x=a+2x=a+2 (y su simétrica hacia la izquierda de aa).
  3. Para que ff sea inyectiva, hay que restringirla a un tramo donde solo crezca o solo decrezca. El tramo natural más amplio, partiendo del vértice, es x∈[a,a+2]x \in [a, a+2]: ahí ff pasa de manera estrictamente monótona desde f(a)=4f(a)=4, baja hasta 00, y vuelve a subir hasta f(a+2)=4f(a+2)=4...

En realidad, para que sea estrictamente monótona (y no solo continua) conviene tomar el tramo donde no hay repetición de valores, que resulta ser exactamente [a,a+2][a, a+2]. 4. Entonces [a,b]=[a,a+2][a,b] = [a, a+2], de donde b−a=2b-a = 2. 5. Por lo tanto, Juan tiene 22 hijos.