Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: una ecuación es recíproca cuando sus coeficientes, leídos de extremo a extremo, son simétricos (o antisimétricos): el primero igual al último, el segundo igual al penúltimo, y así sucesivamente. Para analizar cada afirmación, conviene pensar en qué le hace cada transformación a esa lista ordenada de coeficientes.

1. Afirmación I. Sustituir $x$ por $-x$ en un polinomio solo cambia de signo los coeficientes que acompañan a potencias impares de $x$; no reordena ni mezcla los coeficientes entre sí. Como la simetría de una ecuación recíproca depende únicamente de las posiciones de los coeficientes (no de sus signos), esa simetría se conserva. (Verdadero)

2. Afirmación II. Sustituir $x$ por $2x$ multiplica cada coeficiente por una potencia distinta de 2 (el coeficiente de $x^k$ queda multiplicado por $2^k$). Esto rompe la igualdad entre coeficientes simétricos, salvo casos degenerados. En general, ya no hay simetría. (Falso)

3. Afirmación III. Sustituir $x$ por $x+1$ reorganiza completamente los coeficientes del polinomio (equivale a un cambio de variable que mezcla todos los términos mediante el binomio de Newton), destruyendo la estructura de coeficientes simétricos original. (Falso)

Respuesta: B) VFF