Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: el rango de una parábola que abre hacia arriba es siempre $[k;+\infty)$, donde $k$ es la ordenada de su vértice — así que solo necesitamos completar cuadrados para leer directamente el vértice, sin calcular derivadas ni tablas de valores.

1. Completamos cuadrados en $f(x)=2x^2+4x+1$: sacamos factor común 2 de los primeros dos términos: $f(x)=2(x^2+2x)+1$.

2. Completamos el cuadrado dentro del paréntesis: $x^2+2x=(x+1)^2-1$.

3. Sustituyendo: $f(x)=2\left[(x+1)^2-1\right]+1=2(x+1)^2-2+1=2(x+1)^2-1$.

4. Esta forma nos dice que el vértice está en $(-1,-1)$, y como el coeficiente principal es positivo, la parábola abre hacia arriba: el valor mínimo de $f$ es $-1$.

5. Por lo tanto $Ran(f)=[-1;+\infty)$, y comparando con el dato $Ran(f)=[a;+\infty)$, concluimos $a=-1$.

6. $a^3+a^2=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0$.

Respuesta: C) 0