Ejercicio de Álgebra — UNI

Idea clave: al ser una fracción con raíz cuadrada en el numerador y una función mayor entero en el denominador, hay dos condiciones independientes que deben cumplirse simultáneamente: que el radicando no sea negativo, y que el denominador no se anule. Resolvemos cada una por separado y al final intersectamos.

1. Condición del radicando: $4x-3\geq0 \Rightarrow x\geq\dfrac{3}{4}$. Esto da el intervalo $\left[\dfrac{3}{4};+\infty\right)$.

2. Condición del denominador: necesitamos $\lfloor3-x\rfloor\neq0$. Recordemos que $\lfloor y \rfloor=0$ exactamente cuando $0\leq y<1$. Entonces $\lfloor3-x\rfloor\neq0$ se cumple cuando $3-x<0$ o $3-x\geq1$.

3. De $3-x<0$ obtenemos $x>3$. De $3-x\geq1$ obtenemos $x\leq2$. Juntando ambas ramas: $x\in(-\infty;2]\cup(3;+\infty)$.

4. Intersectamos las dos condiciones: $\left[\dfrac{3}{4};+\infty\right) \cap \left[(-\infty;2]\cup(3;+\infty)\right)$.

5. El resultado es $\left[\dfrac{3}{4};2\right]\cup(3;+\infty)$.

Respuesta: B) $\left[\dfrac{3}{4};2\right]\cup(3;+\infty)$