Ejercicio de Sólidos geométricos - Cono y sector circular

Un adorno transparente tiene la forma de un cono circular recto que, en su interior, contiene un líquido y una esfera de centro $O_1$ , tangente tanto a la superficie lateral del cono como a su base (H, M y N son los puntos de tangencia). El radio de la esfera mide 3 cm y $\dfrac{VO_1}{O_1H}=3$ . Halle el volumen del líquido contenido en el cono.

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Como H es el punto de tangencia de la esfera con la base, $O_1H$ es igual al radio de la esfera, es decir, $O_1H=3$ ; con la relación dada, $VO_1=3\times O_1H=9$ .
Comparar los triángulos semejantes que se forman entre el centro de la esfera, el vértice del cono y los puntos de tangencia ( $O_1NV \sim CHV$ ) para relacionar el radio de la base del cono ( $R$ ) con la generatriz $VC$ : $\dfrac{3}{R}=\dfrac{9}{VC} \Rightarrow VC=3R$ .
Calcular la altura total del cono: $VH = VO_1+O_1H = 9+3=12$ . Aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por la generatriz, la altura y el radio de la base: $(3R)^2=R^2+12^2 \Rightarrow 8R^2=144 \Rightarrow R^2=18$ .
Calcular el volumen del cono: $\dfrac{\pi R^2 (12)}{3}=\dfrac{\pi(18)(12)}{3}=72\pi\ \text{cm}^3$ .
Calcular el volumen de la esfera: $\dfrac{4}{3}\pi(3)^3=36\pi\ \text{cm}^3$ .
Restar el volumen de la esfera al del cono para obtener el volumen del líquido: $72\pi-36\pi=36\pi\ \text{cm}^3$ .

Ejercicio de Geometría — UNMSM