Ejercicio de Matrices — UNMSM

En un restaurante, la mesa número "n" realiza un pedido especial del plato bandera de dicho local. Si "n" es dado por la condición $\operatorname{traza}(A^n) = 244$ , donde $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}$ , halle el número de la mesa.

Considere que la traza de una matriz cuadrada $B=(b_{ij})_{m\times m}$ de orden $m\times m$ es la suma de los elementos de su diagonal principal; es decir, $b_{11}+b_{22}+b_{33}+\dots+b_{mm}$ .

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Se calculan las primeras potencias de A para reconocer un patrón: $A^2=\begin{pmatrix}1 & 8\\ 0 & 9\end{pmatrix}, \quad A^3=\begin{pmatrix}1 & 26\\ 0 & 27\end{pmatrix}$
Se observa que el elemento (2,2) siempre es $3^n$ y el elemento (1,1) siempre es 1, por lo que se infiere la forma general: $A^n=\begin{pmatrix}1 & 3^n-1\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$
Se calcula la traza de $A^n$ : $\operatorname{traza}(A^n) = 1 + 3^n$ .
Se resuelve la ecuación: $1+3^n = 244 \;\Rightarrow\; 3^n = 243 = 3^5 \;\Rightarrow\; n = 5$ .

Respuesta: B

Ejercicio de Álgebra — UNMSM