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Medio
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
UNI

Ejercicio de Geometría — UNI

En un triángulo escaleno ACBACB, recto en CC, se traza CD⊥ABCD\perp AB, con D∈ABD\in AB. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:

I. ∠BAC≅∠BCD\angle BAC\cong\angle BCD.

II. AD=DBAD=DB.

III. (AD)(DB)=(CD)2(AD)(DB)=(CD)^2.

Ver solución paso a paso

Pista: la altura a la hipotenusa genera dos triángulos semejantes al triángulo original y satisface la relación métrica h2=pqh^2=pq.

1. Los triángulos ABCABC, ACDACD y CBDCBD son semejantes. De esa semejanza se obtiene

∠BAC=∠BCD.\angle BAC=\angle BCD.

La proposición I es verdadera.

2. La igualdad AD=DBAD=DB solo ocurriría en una situación especial; como el triángulo es escaleno, no se deduce esa igualdad. La proposición II es falsa.

3. La altura CDCD a la hipotenusa cumple el teorema de la media geométrica:

CD2=AD⋅DB.CD^2=AD\cdot DB.

La proposición III es verdadera.

4. Son verdaderas I y III.

Respuesta: D