Ejercicio de Geometría del espacio

Sean los planos P y Q paralelos, cuya distancia entre ellos es de 7 u. Se ubica el punto A en el plano P y el punto B en el plano Q. Si AB = 25 u, determine aproximadamente la medida en grados sexagesimales del ángulo entre la recta AB y el plano P. ¿Cuál es la suma de las cifras del complemento de dicho ángulo?

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Idea clave: el ángulo entre una recta y un plano se mide proyectando el punto exterior sobre el plano y formando un triángulo rectángulo con la distancia perpendicular como uno de los catetos. Aquí conviene reconocer el triángulo 7-24-25 (un triángulo pitagórico conocido) para evitar trabajar con decimales.

1. Proyectamos el punto B sobre el plano P, obteniendo el punto H. El segmento BH es perpendicular a P y mide exactamente la distancia entre los planos: $BH=7$ u.

2. Se forma el triángulo rectángulo AHB, recto en H, con hipotenusa $AB=25$ y un cateto $BH=7$ . Por el teorema de Pitágoras, el otro cateto es $AH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ .

3. Reconocemos el triángulo rectángulo $7-24-25$ , cuyos ángulos agudos son (aproximadamente) $16^\circ$ y $74^\circ$ — es un triángulo notable frecuente en geometría del espacio.

4. El ángulo entre la recta AB y el plano P es precisamente el ángulo que AB forma con su proyección AH, es decir, el ángulo en el vértice A: $x=16^\circ$ .

5. Su complemento es $90^\circ-16^\circ=74^\circ$ .

6. La suma de las cifras de 74 es $7+4=11$ .

Respuesta: B) 11

Ejercicio de Geometría — UNI