Admi-Tec
Difícil
Operadores matemáticos
UNI · 2025

Ejercicio de Habilidad Lógico-Matemática — UNI

Para x, y pertenecientes a los números reales, se define el operador # de la siguiente manera:

x#y={x2(x+3y)+y2(y+3x),si x≥yx2(x−3y)−y2(y−3x),si x<yx\#y = \begin{cases} x^2(x+3y) + y^2(y+3x), & \text{si } x \geq y \\ x^2(x-3y) - y^2(y-3x), & \text{si } x < y \end{cases}

Si se cumple que x#2=64x\#2 = 64 y que 1#y=−11\#y = −1, calcule el valor de (−x)#y(−x)\#y.

Ver solución paso a paso

Pista: reconoce que las expresiones dadas corresponden, en realidad, al desarrollo del cubo de una suma o de una diferencia; eso simplifica mucho el operador.

1. (Notamos que x2(x+3y)+y2(y+3x)x^2(x+3y) + y^2(y+3x) es exactamente el desarrollo de (x+y)3(x+y)^3, y que x2(x−3y)−y2(y−3x)x^2(x-3y) - y^2(y-3x) es el desarrollo de (x−y)3(x-y)^3. Por lo tanto, el operador se puede reescribir de forma más simple.) x#y={(x+y)3,si x≥y(x−y)3,si x<yx\#y = \begin{cases} (x+y)^3, & \text{si } x \geq y \\ (x-y)^3, & \text{si } x < y \end{cases}

2. (Usamos el dato x#2 = 64. Probamos primero con la posibilidad x ≥ 2.) (x+2)3=64  ⟹  x+2=4  ⟹  x=2(x+2)^3 = 64 \implies x + 2 = 4 \implies x = 2 (Como x = 2 cumple x ≥ 2, esta solución es válida.)

3. (Usamos el dato 1#y = −1. Como no sabemos aún si 1 ≥ y o 1 < y, probamos ambos casos.) (Caso 1 < y): (1−y)3=−1  ⟹  1−y=−1  ⟹  y=2(1-y)^3 = -1 \implies 1 - y = -1 \implies y = 2 (Caso 1 ≥ y): (1+y)3=−1  ⟹  1+y=−1  ⟹  y=−2(1+y)^3 = -1 \implies 1 + y = -1 \implies y = -2 (Ambos valores son consistentes con su respectivo caso, así que hay dos posibilidades para y: y = 2, o y = −2.)

4. (Con x = 2 fijo, evaluamos (−x)#y = (−2)#y para cada posible valor de y.) (Primera opción, con y = 2): como −2 < 2, usamos el caso x < y. (−2−2)3=(−4)3=−64(-2 - 2)^3 = (-4)^3 = -64 (Segunda opción, con y = −2): como −2 no es menor que −2 (son iguales), usamos el caso x ≥ y. (−2+(−2))3=(−4)3=−64(-2 + (-2))^3 = (-4)^3 = -64

5. (En ambos casos posibles obtenemos el mismo resultado.)

Por lo tanto, el valor de (−x)#y es −64.