Admi-Tec
Difícil

Ejercicio de Geometría

En un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura CH‾\overline{CH} (H en AB‾\overline{AB}). Si la medida del ángulo formado entre la bisectriz exterior del ángulo C y la altura CH es 114°, calcule la diferencia entre las medidas de los ángulos internos A y B.

Ver solución paso a paso
  1. La bisectriz exterior del ángulo C es perpendicular a la bisectriz interior del ángulo C.
  2. El ángulo entre la altura CH y la bisectriz interior de C es: ∣(90°−B)−C2∣\left|(90°-B)-\dfrac{C}{2}\right|, donde 90°−B90°-B es el ángulo entre CH y el lado CB.
  3. Como el ángulo con la bisectriz exterior es 114° (mayor a 90°), se cumple: 114°=90°+θ114° = 90° + \theta, donde θ\theta es el ángulo entre CH y la bisectriz interior. Entonces θ=24°\theta = 24°.
  4. Desarrollando θ=∣A−B2∣\theta = \left|\dfrac{A-B}{2}\right| (usando que C=180°−A−BC=180°-A-B): se obtiene ∣A−B2∣=24°\left|\dfrac{A-B}{2}\right|=24°.
  5. Por lo tanto ∣A−B∣=48°|A-B| = 48°.

Respuesta: C) 48°