Ejercicio de Geometría — UNI

Idea clave: cuando OA es perpendicular al plano que contiene a ABC, el triángulo BOC es precisamente la "sombra" (proyección ortogonal) del triángulo ABC sobre el plano que gira alrededor de la arista BC. Existe una fórmula directa que conecta el área de una figura con el área de su proyección: se multiplica por el coseno del ángulo diedro entre ambos planos.

1. Como $OA\perp$ plano(ABC), el punto O se proyecta verticalmente sobre ese plano cayendo exactamente en A. Esto significa que el triángulo BOC, al proyectarse sobre el plano ABC, se convierte exactamente en el triángulo BAC.

2. La relación entre el área de una figura y el área de su proyección ortogonal sobre otro plano es: $A_{proyectada}=A_{original}\times\cos(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo diedro entre los dos planos (medido en la arista de intersección, que aquí es BC).

3. Aplicando esto: $A_{ABC}=A_{BOC}\times\cos(\theta_{BC})$, donde $\theta_{BC}$ es el ángulo diedro pedido.

4. Por dato, $A_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{2}A_{BOC}$. Igualando ambas expresiones: $\frac{\sqrt3}{2}A_{BOC}=A_{BOC}\cdot\cos(\theta_{BC})$

5. Como $A_{BOC}\neq0$, podemos simplificarlo de ambos lados: $\cos(\theta_{BC})=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

6. El ángulo cuyo coseno es $\dfrac{\sqrt3}{2}$ es $30^\circ$.

Respuesta: D) 30