Ejercicio de Álgebra — UNI

(Pista: una inecuación irracional de la forma $\sqrt{f(x)} < g(x)$ exige simultáneamente que el radicando sea no negativo, que $g(x)$ sea positivo, y que al elevar al cuadrado ambos miembros se preserve la desigualdad; intersecta las tres condiciones.)

1. Primera condición (el radicando debe ser no negativo): $x^2+4x+15 \geq 0$. Como este trinomio tiene discriminante negativo y coeficiente principal positivo, es positivo para todo $x$ real, por lo que se cumple siempre: $CS_1 = \mathbb{R}$.

2. Segunda condición (el segundo miembro debe ser positivo, pues una raíz cuadrada no puede ser menor que un número negativo o igual a cero de forma útil aquí): $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$, es decir $CS_2 = \langle -1; +\infty\rangle$.

3. Tercera condición (al elevar al cuadrado ambos miembros, válida bajo las condiciones anteriores): $x^2+4x+15 < (x+1)^2 = x^2+2x+1$. Simplificando: $2x < -14$, de donde $x < -7$, es decir $CS_3 = \langle -\infty; -7\rangle$.

4. Se intersectan las tres condiciones: $CS = CS_1 \cap CS_2 \cap CS_3 = \mathbb{R} \cap \langle -1;+\infty\rangle \cap \langle -\infty;-7\rangle$.

5. Como $\langle -1;+\infty\rangle$ y $\langle -\infty;-7\rangle$ no tienen elementos en común, la intersección es vacía.

Respuesta: ∅