Ejercicio de Geometría — UNMSM

Idea clave: el área de un polígono regular se puede calcular sumando las áreas de los 12 triángulos isósceles congruentes que se forman al unir el centro con cada vértice, usando el radio (R) del polígono y el ángulo central.

1. Se relaciona el apotema con el radio del dodecágono mediante la fórmula $\text{apotema} = \dfrac{R\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$, de donde $\dfrac{R\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} = 20\sqrt{2+\sqrt{3}}$, y se obtiene $R = 40$ m.
2. El área del dodecágono regular se calcula como la suma de 12 triángulos con ángulo central de 30°: $A = \dfrac{12 \cdot R \cdot R \cdot \text{sen}(30°)}{2} = \dfrac{12(40)(40)\,\text{sen}(30°)}{2}$.
3. Al calcular: $A = \dfrac{12 \times 1600 \times 0{,}5}{2} = 4800$ m².

Respuesta: 4800 m²