Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: el volumen de un prisma es (área de la base) por (altura); el tetraedro OABC comparte esa misma base y esa misma altura, así que su volumen es un tercio del área de la base por la altura.)

1. (Relacionamos el volumen del prisma con el área de su base) Sea $S$ el área del triángulo ABC (igual al área de PQR, por ser un prisma regular) y $h$ la altura del prisma. Entonces: $V_{ABC-PQR} = S \cdot h = \frac{27}{4}\sqrt2$

2. (Observamos que el tetraedro OABC tiene la misma base y la misma altura que el prisma) Como O está sobre el plano de la base PQR (paralelo a ABC y a la misma distancia $h$), la altura del tetraedro OABC (medida desde O hasta el plano ABC) es la misma altura $h$ del prisma, y su base es el mismo triángulo ABC.

3. (Aplicamos la fórmula del volumen de una pirámide/tetraedro) $V_{O-ABC} = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3}\left(\frac{27}{4}\sqrt2\right) = \frac{9}{4}\sqrt2$

4. (Concluimos) El volumen del tetraedro OABC es $\dfrac{9}{4}\sqrt2$ u³, que corresponde a la alternativa D.