Ejercicio de Relaciones métricas en un triángulo

En un terreno en forma de rectángulo ABCD (con B y C en la parte superior, A y D en la parte inferior), un agricultor ha construido los canales de regadío AP, BP, PC y PD, donde P es el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Si BP = 6 m, PC = 9 m y AP = 5 m, calcule la longitud, en metros, del canal de regadío PD.

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💡 Idea clave: cuando dos segmentos (aquí, las diagonales AC y BD) se cruzan en un punto interior formando cuatro triángulos, existe una relación entre los cuadrados de los cuatro segmentos formados, conocida como el teorema de las relaciones métricas del triángulo oblicuángulo aplicado a diagonales que se cortan.

En el punto P, donde se cruzan los segmentos, se cumple la relación: $BP^2 + PD^2 = AP^2 + PC^2$ (esta igualdad proviene de aplicar la ley de cosenos a los triángulos opuestos que comparten el mismo ángulo suplementario en P).
Sustituimos los valores conocidos, llamando x = PD: $6^2 + x^2 = 5^2 + 9^2$ $36 + x^2 = 25 + 81$ $x^2 = 106 - 36 = 70$ $x = \sqrt{70}$

Respuesta: A) $\sqrt{70}$

Ejercicio de Geometría — UNMSM