Ejercicio de Geometría — UNI

(Pista: calcula la altura de la pirámide con el teorema de Pitágoras, usando la mitad de la diagonal de la base cuadrada y la arista lateral, y luego aplica la fórmula del volumen de una pirámide.)

1. (Ubicamos los elementos de la pirámide) Sea ABCD la base cuadrada de lado $2a$ y V el vértice. El pie de la altura H coincide con el centro de la base, y la diagonal media (del centro al vértice de la base) mide $a\sqrt2$ (la mitad de la diagonal del cuadrado de lado $2a$, que es $2a\sqrt2$).

2. (Calculamos la altura de la pirámide) En el triángulo rectángulo AHV (recto en H), con $AV = 2a$ (arista lateral) y $AH = a\sqrt2$: $h^2 = (2a)^2 - (a\sqrt2)^2 = 4a^2 - 2a^2 = 2a^2$ $h = a\sqrt2$

3. (Aplicamos la fórmula del volumen de la pirámide) $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h = \frac{1}{3}(2a)^2(a\sqrt2)$ $V = \frac{1}{3}(4a^2)(a\sqrt2) = \frac{4}{3}\sqrt2\,a^3$

4. (Concluimos) El volumen es $\dfrac{4}{3}\sqrt2\,a^3$, que corresponde a la alternativa D.