Ejercicio de Geometría — UNMSM

Antes de calcular ángulos entre rectas, siempre conviene ubicar bien todos los vértices de la figura; aquí el vértice que falta, $D$, sale directo de la propiedad de que las diagonales de un rectángulo comparten el mismo punto medio.

1. Como $ABCD$ es un rectángulo con $A(2,-1)$, $B(7,-1)$, $C(7,3)$, el vértice $D$ se halla notando que el punto medio de la diagonal $AC$ debe coincidir con el punto medio de $BD$; esto da $D(2,3)$.
2. Pendiente de la diagonal $\overline{AC}$: $m_{AC} = \frac{3-(-1)}{7-2} = \frac{4}{5}$
3. Pendiente de la diagonal $\overline{BD}$: $m_{BD} = \frac{(-1)-3}{7-2} = -\frac{4}{5}$
4. Usando la fórmula del ángulo entre dos rectas: $\tan\alpha = \frac{m_{BD}-m_{AC}}{1+m_{BD}\cdot m_{AC}} = \frac{-\frac{4}{5}-\frac{4}{5}}{1+\left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{-\frac{8}{5}}{\frac{9}{25}}$
5. Simplificando: $\tan\alpha = -\dfrac{8}{5}\times\dfrac{25}{9} = -\dfrac{40}{9}$.