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Sumatorias
UNI

Ejercicio de Álgebra — UNI

Calcule el valor de la serie

∑n=3∞1(n−2)(n−1).\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-2)(n-1)}.
Ver solución paso a paso

Pista: descompón el término general en fracciones parciales; aparecerá una serie telescópica.

1. Observamos que

1(n−2)(n−1)=1n−2−1n−1.\frac1{(n-2)(n-1)}=\frac1{n-2}-\frac1{n-1}.

2. Entonces la suma parcial hasta NN es

∑n=3N(1n−2−1n−1)=1−1N−1.\sum_{n=3}^{N}\left(\frac1{n-2}-\frac1{n-1}\right) =1-\frac1{N-1}.

Todos los términos intermedios se cancelan.

3. Al tomar N→∞N\to\infty:

1−1N−1⟶1.1-\frac1{N-1}\longrightarrow1.

Por tanto, la serie vale 11.

Respuesta: B