Ejercicio de Geometría — UNMSM
Una casa de retiro tiene dos ventanas circulares congruentes, dispuestas una encima de la otra y unidas por una franja vertical, tal como se muestra en la figura. Un soporte conecta el punto A (a la derecha) con los puntos B y C de la circunferencia superior, siendo B y C puntos de tangencia entre esa circunferencia y los soportes AB y AC. Si la medida del arco BPC (el arco mayor que pasa por P, en el lado opuesto a A) es igual a cinco veces la medida del angulo <BAC, halle la medida del angulo que determinan los soportes AB y AC.
Ver solución paso a paso
- Llamamos x a la medida buscada: m<BAC = x°. Por dato, la medida del arco BPC (arco mayor) es 5x°.
- Como AB y AC son tangentes a la circunferencia en B y C respectivamente, los radios trazados hacia B y C son perpendiculares a los soportes, por lo que el cuadrilatero formado (con los dos radios y los dos soportes) tiene dos angulos rectos.
- La suma de los angulos internos de ese cuadrilatero es 360°: los dos angulos rectos aportan 180°, el angulo central que subtiende el arco menor BC aporta (180° - 5x°) [el arco menor BC es el que no contiene a P, y su medida es 360° - 5x°... ajustando segun la figura, el arco menor BC mide 180° - x°, ya que P y el arco BPC recorren la mayor parte de la circunferencia], y el angulo <BAC aporta x°.
- Planteando la ecuacion de cierre angular del cuadrilatero (90° + 90° + angulo central + x° = 360°) y sustituyendo el angulo central en funcion de x segun la relacion de arcos dada (arco BPC = 5x°), se obtiene: 5x° + 180° - x° = 360°, es decir 4x° = 180°, de donde x° = 45°.
- Por lo tanto, el angulo que determinan los soportes AB y AC mide 45°.