Sucesiones y series numéricas

Calcule el valor de la serie

En un triángulo equilátero de lado 1, existen infinitos círculos tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo, que se van aproximando a cada uno de los tres vértices: en el centro del triángulo hay un círculo grande, y hacia cada vértice se acumula una sucesión decreciente de círculos cada vez más pequeños, todos tangentes a los dos lados que forman ese vértice y tangentes al círculo anterior de la sucesión.

Si el triángulo tiene lados que miden una unidad de longitud, determine el área total de los círculos.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, una función definida por: $f(x) = x^3 + 2x + 1$ y la sucesión $a_n = \dfrac{n+1}{n}$. Determine el valor de convergencia de la sucesión $\{f(a_n)\}$.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión que converge a un número real $a>1$ y $\sum b_n$ una serie que converge a 1. Calcule:

$\lim_{n\to+\infty}\left[5a_n^2(1-b_n)+2a_nb_n\right]$

Sabiendo que:

$y=\frac{2}{m}(b_1+b_2+b_3+....+b_m)$

$m=b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_m^2$

Calcule:

$M=(y-b_1)^2+(y-b_2)^2+(y-b_3)^2+...+(y-b_m)^2$