Área del sector circular

Un cono circular recto fue construido a partir de un disco de papel de radio R (en cm), luego de retirar un sector circular de ángulo central $\dfrac{\pi}{6}$ rad. Determine la longitud de la circunferencia (en cm) generada por un plano secante al cono y paralelo a la base del mismo, obteniendo un tronco de cono circular de área lateral igual a $\dfrac{\pi R^2}{6}$ cm².

Un agricultor desea cercar su terreno, que tiene forma de sector circular con 32 m² de área. Si el ángulo central del terreno mide 1 radián, ¿cuántos metros lineales de cerca requiere, como mínimo, para la delimitación?

Juan Carlos le regaló a su hija un terreno, el cual tiene forma de sector circular con radio $r = 20\sqrt{14}$ m, tal como se muestra en la figura (un sector circular OAB, donde B es el punto más alto, con la altura desde B hasta el segmento OA igual a $20\sqrt{7}$ m). Si Juan Carlos compró el terreno a razón de $10 por metro cuadrado, ¿cuántos dólares pagó en total?

Dato: $\pi = 3{,}14$

Una región tiene la forma de sector circular y se divide en dos regiones, S₁ y S₂: S₁ es el sector circular interior de radio r y ángulo θ, y S₂ es la corona que se extiende desde r hasta R, con el mismo ángulo θ. Si "r" es a R como 1 es a 3, calcule la proporción entre las áreas de las regiones S₁ y S₂.