Resolución de triángulos

En la figura, $ABCD$-$OB'C'D'$ es un hexaedro regular (cubo) de arista 2, donde $O$ es un vértice del cubo y $B'$, $C'$, $D'$ son los vértices de la cara superior opuestos respectivamente a $B$, $C$, $D$ de la cara inferior $ABCD$. $M$ es el punto medio de la arista $\overline{DD'}$. Si "$\theta$" es la medida del ángulo $BMC'$, calcule $\sec(\theta)$.

Considere una región cuadrangular convexa de área 37,5 cm², cuyas diagonales miden 10 cm y 15 cm. Calcule la medida del menor ángulo (en grados sexagesimales) que forman dichas diagonales.

En posición normal, un ángulo α perteneciente al tercer cuadrante verifica la siguiente condición: $6\text{sen}^2\alpha - \cos\alpha - 5 = 0$. Calcule el valor de la constante A en la siguiente igualdad:

$6\csc^2\alpha + \dfrac{5}{\sqrt{3}}A\,\text{sen}\,\alpha = 0$

En un triángulo escaleno ABC con $AB=c$, $BC=a$ y $AC=b$, se cumple que $(a+b)\tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=k(a-b)$. Una empresa decide invertir $(4k+7)$ miles de soles para mejorar su sistema informático. Si $9\tan(A-B)=40$, ¿cuánto invirtió dicha empresa, en soles?