Números complejos

¿Cuál es la relación entre los números reales $x$ e $y$ para que el número complejo

sea un número imaginario puro?

Luis es un caminante que, en cierto instante, recibe la informacion de que le falta recorrer $\|z\|$ km para llegar a su destino. Calcule dicha distancia, en kilometros, sabiendo que $z+\bar{z}=8$ y que $\text{Re}(\bar{z}) = 2\,\text{Im}(z)$, donde $z$ es un numero complejo ($z\in\mathbb{C}$).

En navegación, la posición de un barco se puede representar con el número complejo $z = a+bi$. Halle la distancia que separa, en kilómetros, a dos barcos cuyas posiciones son $z_1 = (1-i)^2(1+i)$ y $z_2 = (1+i)^3$.

Dados los números complejos $z_1 = 3 + 2i$ y $z_2 = 4 + i$, determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:

I. El producto de ambos es $z_1 \cdot z_2 = 10 + 11i$.

II. El módulo de la diferencia de ellos es $|z_2 - z_1| = |-1-i| = \sqrt{2}$.

III. La suma de sus conjugados es $\overline{z_1} + \overline{z_2} = -7 - 3i$.

IV. El cociente de ambos es $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{4} + 2i$.