Geometría analítica

Se ha construido una secuencia de torres de base cuadrada, hechas con cubos idénticos de 1 cm de arista: F1 es un solo cubo; F2 es una torre de dos pisos, con una base de 2×2 cubos y un cubo adicional centrado encima; F3 amplía el mismo patrón a tres pisos, y así sucesivamente. Si la superficie exterior de la torre (incluyendo su base), en la figura F2, tiene 20 cm² de área, ¿cuál es el área de la superficie exterior de la figura F5 (incluyendo su base)?

En un determinado instante, los puntos donde se encuentran ubicados los amigos Luis, Rosa, Teresa y Miguel coinciden con los vértices de un cuadrado cuyos lados miden 120 m. En ese instante, Luis observa a Rosa en la dirección N30°E, y Rosa, a su vez, observa a Teresa en la dirección N60°O. En dicho instante, Alfredo, hermano de Miguel, quien se encuentra en el punto central del cuadrado, observa a Rosa. ¿En qué dirección lo hace?

En un plano coordenado XY, determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones:

I. El punto simétrico de A(–2; 3) con respecto a la recta $x = 3$ es (7; 3).

II. El punto simétrico de B(–3; –5) con respecto a la recta $y = x$ es (–5; –3).

III. El punto simétrico de C(3; 5) con respecto a la recta $y = 2$ es (3; –1).

De un tronco de madera, se ha construido un cilindro circular recto compacto de 5 cm de radio y $40\pi$ cm de altura. Los puntos M y N del cilindro están en la misma línea vertical. Una partícula se encuentra en el punto N y, para llegar al punto M, dio tres vueltas por la superficie lateral del cilindro, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud mínima del recorrido de la partícula.