Perímetros y figuras semejantes

José tiene un trozo de papel cuadriculado con doce cuadraditos congruentes, cada uno de los cuales tiene lados que miden 8 cm, tal como se muestra en la figura 1. Él dobla el trozo de papel adecuadamente por las líneas del cuadriculado, de manera que obtiene como resultado lo que se muestra en la figura 2. Luego, dibuja un rombo de $3\sqrt{2}$ cm sobre la figura 2 y obtiene la figura 3; finalmente, corta los rombos sombreados de todas las capas y las retira. Una vez que se despliega por completo el trozo de papel que queda, ¿cuál es su perímetro?

Un padre de familia compró diez parcelas contiguas de forma cuadrada de $10$ m de lado cada una. Las parcelas están acomodadas en forma de "escalera" (zigzag): una fila superior de $4$ cuadrados, una fila intermedia de $3$ cuadrados corrida hacia la izquierda y una fila inferior de $4$ cuadrados corrida un poco más hacia la izquierda, tal como se observa en la figura (región sombreada). Luego, dividió totalmente la región sombreada en ocho terrenos congruentes y los repartió entre sus ocho hijos. ¿Cuál es el perímetro del terreno que recibió cada hijo?

Luciano hace rodar una lámina circular, cuyo radio mide $2$ cm, sobre una trayectoria formada por segmentos rectos y dos semicircunferencias de radio $r$, desde el punto A hasta el punto F. Si $AB = DE = 20$ cm, $BC = CD = 18$ cm, $EF = 16$ cm, halle la menor longitud, en centímetros, que recorre el centro de la lámina circular.

Enrique dispone de 580 fichas de madera congruentes, cada una de las cuales coincide con la figura mostrada, la cual está formada por 12 cuadraditos congruentes de 1 cm de lado cada uno. Encajándolas convenientemente y sin traslaparlas, ¿cuál es el perímetro de la pieza más grande posible que se puede formar con la mayor cantidad de estas fichas, y que sea semejante a la figura indicada?