Rotaciones y traslaciones (tableros)

A partir de las posiciones iniciales mostradas en la figura, el círculo blanco se mueve dos vértices en sentido antihorario y el círculo negro, un vértice en sentido horario. Si ambos movimientos constituyen un “paso”, ¿cuántos pasos se requiere para que los dos círculos coincidan por primera vez en un vértice?

En un sistema de coordenadas cartesianas se muestra una lámina triangular con vértices en los puntos A(1; 2), B(5; 5) y C(6; 3), la cual rota 90° en sentido antihorario respecto del origen de coordenadas. Así, queda determinado un nuevo triángulo con vértices en los puntos A', B' y C'. Determine la suma de las abscisas de las coordenadas de los vértices A', B' y C' del nuevo triángulo.

Las figuras (I), (II) y (III) representan láminas cuadradas congruentes. Se rotan las tres figuras: la (I) 180° en sentido antihorario, la (II) 90° en sentido horario y la (III) 90° en sentido antihorario. Cada lámina se rota respecto a su centro. Luego de realizar las rotaciones, se trasladan dos de ellas, sin rotarlas, sobre la otra, haciendo coincidir sus centros, y a la figura que resulta se la rota 540° en sentido horario. Entonces, la figura que se obtendrá es

Diana dispone de un cubo cuya arista mide $6$ cm. Coloca este cubo sobre una superficie $S$ de tal manera que una de sus aristas coincide con el borde de la superficie $S$, según se describe en la figura (el borde de giro es la arista $MN$). Luego, Diana gira el cubo en torno a la arista $MN$ un ángulo de $180°$, en sentido horario. ¿Cuál es el área total del sólido generado por el cubo?

Carlos ha construido una pieza plana con ocho laminas cuadradas de $4\ \text{cm}$ de lado cada una, formando una figura tipo "marco" (un cuadrado grande de $3\times3$ laminas al que se le ha quitado la lamina central). Esta pieza ha sido colocada sobre una mesa, y se ha ubicado un vertice $V$ en la esquina inferior derecha de la figura. Carlos se dispone a girarla sobre la superficie de la mesa, fijando como punto de giro el vertice $V$, en sentido horario, un angulo de $90°$. ¿Cual es el perimetro de la region generada por la pieza plana durante ese giro?

Dato: cada lamina cuadrada tiene lado $4\ \text{cm}$, por lo que la pieza completa (el "marco") mide $12\ \text{cm}\times12\ \text{cm}$ por lado.

Se tiene un tablero con siete lugares triangulares en el cual se ubican dos fichas con las letras P y Q. Con estas dos fichas, María hace la siguiente rutina: desplazándolas al mismo tiempo, mueve la ficha Q tres lugares en sentido horario y mueve la ficha P cuatro lugares en el mismo sentido y, hecho esto, se detiene. Repite luego esta rutina una y otra vez. ¿Después de cuántas rutinas estarán las dos fichas en el mismo lugar triangular por primera vez?