Análisis combinatorio

Dado $n\in\mathbb N$, se denota por $E(n)$ al conjunto de números naturales cuyas cifras son diferentes de $1$ y cuyo producto de cifras es $n$. Por ejemplo,

Determine la cantidad de elementos de $E(48)$.

Los padres de Julián tienen cinco hijos y deciden ir al cine con todos ellos. Para ello, compran entradas en una misma fila de siete asientos juntos. Si los hermanos trillizos de Julián deben sentarse siempre juntos, y también sus padres, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar todos para ver la película?

¿De cuántas formas pueden ordenarse 4 libros distintos en un estante, sabiendo que dos de ellos deben estar juntos?

La cantidad de figuritas del album que tiene Luis es igual a la suma:

$\sum_{k=1}^{15}\left(\frac{k^2+3k}{2}+\frac{4}{3}\right)$

Si Luis agrupa las figuritas de $10$ en $10$, ¿cuantos grupos formara?

Para tener acceso a una caja fuerte se necesita crear un codigo de cuatro digitos, cualquiera de los cuales puede repetirse (incluyendo que el primer digito sea $0$). ¿Cuantos codigos diferentes se pueden generar?

María recibe la visita de una familia formada por dos esposos y cinco niños. Si todos ellos, incluida María, deben ubicarse alrededor de una mesa circular de ocho asientos, con la condición de que ambos esposos se ubiquen juntos al igual que los niños, ¿de cuántas formas diferentes podrán ubicarse todas estas personas alrededor de dicha mesa?

Luana ha ganado 6 entradas para el cine y desea invitar a 5 de sus 8 mejores amigas para que la acompañen. Sin embargo, dos de ellas no pueden asistir juntas bajo ninguna circunstancia. ¿De cuántas maneras diferentes puede Luana hacer la invitación considerando que estas dos amigas no asistan juntas?

¿De cuántas maneras se pueden sentar 8 niños alrededor de una fogata, de modo que 4 de ellos siempre estén juntos?