Divisibilidad

Sabiendo que

calcule el valor de $x+y$.

Se sabe que $\overline{ab}!$ (el factorial del número de dos cifras $\overline{ab}$) es múltiplo de 8, 10 y 111, y que además dicho factorial puede escribirse como el número de varias cifras:

$\overline{ab}! = \overline{(2b)\,c\,(c+2)\,d\,d\,a\,(3b)\,d\,d}$

donde cada bloque entre paréntesis representa dos cifras consecutivas. Determine el valor de $5a + 4b - c$.

Dado que $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$ son cifras distintas entre sí, y además:

$805\,527 = \overline{abcd} \times \overline{eee},$

calcule el valor de $a + b + c + d + e$.

Si $\overline{abc} = 7 \cdot (a) \cdot (\overline{bc})$, calcule el valor de $a + b + c$.

Si $\overline{4xy7294} = \overset{\circ}{99} + 31$, calcule el valor $x^2 + y^2$.

Si $\overline{xyzw}$ es múltiplo de 5 y todas sus cifras son diferentes entre sí y diferentes de cero. Además, se cumple que:

- $\overline{wz}$ es múltiplo de 3, con $w < z$

- $\overline{y(x-2)}$ es múltiplo de 3, con $x > y$

- $\overline{zy}$ es múltiplo de 3, con $y > z$, $y > 6$

Calcule $x + y + z + w$.

Un comerciante compra lapiceros y borradores, los cuales distribuye en 5 cajas. En unas cajas hay lapiceros y en otras, borradores. La cantidad de unidades contenidas en cada caja son respectivamente 9, 8, 12, 23 y 27. Si el comerciante solo vendió todo el contenido de una de las cajas y de lo que le quedó se sabe que la cantidad de lapiceros es el cuádruple de la cantidad de borradores, ¿cuántos lapiceros le quedaron al comerciante?

Samuel, un estudiante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM, cuenta las hojas de un libro y nota que, al agrupar de 12 en 12, de 18 en 18 y de 20 en 20, siempre le sobran 7 hojas. Si el libro tiene entre 500 y 1200 páginas, ¿cuántas hojas tiene como máximo dicho libro?

Ejercicio adicional

Un laboratorio de biología recibe 720 muestras de plantas para ser analizadas; estas muestras están numeradas correlativamente, desde 1 hasta 720. Si el sistema automático de la máquina del laboratorio descarta, en primer lugar, las muestras que tienen las numeraciones que son múltiplos de 2; en segundo lugar, las que son múltiplos de 3 (de las restantes) y, finalmente, las que son múltiplos de 5 (de las restantes), ¿cuántas muestras fueron descartadas en total?

Julio pegó en su álbum una cantidad de figuritas, entre 600 y 700. Al contarlas de 8 en 8, le sobran 3; al contarlas de 12 en 12, le sobran 7 y al contarlas de 15 en 15, le sobran 13. Calcule el producto de las cifras de la cantidad de figuras que Julio pegó en su álbum.