Relaciones métricas en un triángulo

En un triángulo $ABC$ se traza la ceviana $BD$. Se sabe que

Calcule la longitud de $BD$.

En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a un cateto interseca perpendicularmente a la mediana relativa a la hipotenusa. Si la longitud de la hipotenusa es $5\sqrt3$ u, entonces la longitud (en u) de uno de los catetos es:

En un triángulo rectángulo sus catetos miden $2x-1$ y $2(x+1)$, y la hipotenusa mide $3x$. Halle el área del triángulo.

En el triángulo ABC que se muestra en la figura, BD = 2 y DC = 6, donde AD es la altura trazada desde A hacia BC. Calcule el valor numérico de $AC^2-AB^2$.

En la figura, ABC es un triángulo rectángulo con un cateto igual a 16 y una hipotenusa de 20. Si L es el lado del cuadrado inscrito, calcule la suma de las áreas de los triángulos interiores (la región del triángulo ABC no cubierta por el cuadrado).

En un triángulo rectángulo ABC ($\hat B=90°$), la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ella dos segmentos de longitud 4 y 9 cm. Calcule el área de la región triangular ABC.

Tres empresas pertenecientes a un consorcio se unen para construir un local de recreación para las horas de descanso de sus trabajadores, que se encuentre a la misma distancia de sus edificios, ubicados en los puntos A, B y C. La distancia entre los edificios A y B es 72 metros, la distancia entre B y C es 96 metros, y la distancia entre A y C es de 120 metros.

¿A qué distancia se encontrará el local de recreación de los tres edificios?

Durante los primeros segundos de su lanzamiento, un cohete despega verticalmente desde el suelo. En el instante en que el cohete ha recorrido 2 km, un observador de la base de operaciones, que se encuentra a una distancia $d = 2\sqrt{3}$ km del punto de lanzamiento, lo puede ver con un ángulo de elevación de 30°. Luego de unos segundos vuelve a observar el cohete y esta vez el ángulo de elevación se ha duplicado a 60°. ¿Cuál es la distancia "h" que recorrió el cohete entre los dos momentos observados?

En un terreno en forma de rectángulo ABCD (con B y C en la parte superior, A y D en la parte inferior), un agricultor ha construido los canales de regadío AP, BP, PC y PD, donde P es el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Si BP = 6 m, PC = 9 m y AP = 5 m, calcule la longitud, en metros, del canal de regadío PD.