Polinomios y factorización

Dada la hipérbola de ecuación:

$4x^2-24x-y^2-4y+41=0,$

calcule las coordenadas del vértice que se encuentra más cerca al origen de coordenadas.

Juancito va a pintar la región máxima de una cartulina rectangular dejando sin pintar un marco de 4 cm de ancho alrededor de todo el borde, tal como se muestra en la figura. Si el largo de la cartulina mide 12 cm más que el ancho, y el área de la cartulina es 7360 cm², ¿cuál es el área de la región a pintar por Juancito?

En un puesto de abarrotes, el kilo de arroz cuesta 4 soles y el kilo de azúcar 3,80 soles. Los kilogramos de arroz y azúcar que María compra coinciden, respectivamente, con el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio $P(x)$, el cual cumple que $P(x-2)=(x+2)^3-3(x-1)+mx+5$. Si, en total, María compró 200 kilos entre arroz y azúcar, ¿cuánto gastó en la compra?

En un puesto de abarrotes, el kilo de arroz cuesta 4 soles y el kilo de azúcar 3,80 soles. Los kilogramos de arroz y azúcar que María compra coinciden, respectivamente, con el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio $P(x)$, el cual cumple que $P(x-2)=(x+2)^3-3(x-1)+mx+5$. Si, en total, María compró 200 kilos entre arroz y azúcar, ¿cuánto gastó en la compra?

Reduzca: $A=\left(\dfrac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1}$

Durante el año 2025, el Perú enfrentó un incremento en las actividades de minería ilegal, especialmente en zonas de la Amazonía y de la sierra sur. Las autoridades académicas, con fines de análisis estadístico y modelamiento matemático, propusieron representar algunos indicadores mediante expresiones algebraicas.

Para calcular la cantidad de personas intervenidas dedicadas a esta actividad ilícita, se utiliza el polinomio P(x) definido por:

$P(x) = x^3 - mx^2 + 11x - 6$; $m\in\mathbb{Z}$; $x\in\mathbb{Z}\cap[1;8]$, donde "x" representa el orden del operativo realizado, y se sabe que en el primer operativo no hubo personas intervenidas

Determine la cantidad total de personas intervenidas en el cuarto y sexto operativos realizados.

Durante el año 2025, el Perú enfrentó un incremento en las actividades de minería ilegal, especialmente en zonas de la Amazonía y de la sierra sur. Las autoridades académicas, con fines de análisis estadístico y modelamiento matemático, propusieron representar algunos indicadores mediante expresiones algebraicas.

Para calcular la cantidad de personas intervenidas dedicadas a esta actividad ilícita, se utiliza el polinomio P(x) definido por:

$P(x) = x^3 - mx^2 + 11x - 6$; $m\in\mathbb{Z}$; $x\in\mathbb{Z}\cap[1;8]$, donde "x" representa el orden del operativo realizado, y se sabe que en el primer operativo no hubo personas intervenidas]_

Determine en qué operativo fueron intervenidas 24 personas.

Javier tiene un jardin de forma cuadrada, cuyo lado mide $n$ metros, y desea cercarlo. Cada metro de cerca cuesta $10$ soles. Calcule cuanto gastaria Javier, en soles, como minimo, si el grado absoluto del polinomio

$P(x,y) = 2^{2n}x^{n-2}y^{2n-3} + x^{n-3}y^{2n-5}$

es igual a $10$.

Sean P(x) y Q(x) dos polinomios tal que la suma de los mismos es $4x^2-2x+4$ y la diferencia es $2x^2-2$. Determine el coeficiente principal de $P(x)Q(x)$.

Dado el polinomio completo y ordenado:

$P(x)=(a-2)x^{c+2}+(b+2)x^{b+3}+(2-c)x^a+2$

Calcule la suma de sus coeficientes.

Factoriza completamente: $x^3 - x$.