Circunferencia

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita y la exinscrita al triángulo son tangentes al lado $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Si

calcule $MN$.

En una figura, $P$ y $Q$ son puntos de tangencia de dos rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto exterior $R$, el punto $O$ es el centro de la circunferencia, $M$ y $N$ son puntos sobre la circunferencia entre las tangencias, y la medida del arco menor $MN$ es 40°. En una de las intersecciones auxiliares del gráfico se marca un ángulo de 100°. Calcule el valor de "$x$" (el ángulo formado en $R$ entre las dos tangentes), en grados sexagesimales.

La figura muestra un cuadrante de centro O y representa los aires de un patio, que será adornado con cintas de colores, de modo que las cintas en línea recta que irán de N a Q y de P a M serán de color rojo. Si SM = NS y NQ = 10 m, halle, en metros, la longitud de la cinta de color rojo que se requiere.

En la figura se tienen dos círculos concéntricos de centro O, y AB es una cuerda del círculo mayor tangente al círculo menor. Si el área de la región sombreada (el anillo entre ambos círculos) es $64\pi\ \text{m}^2$, halle AB.

En un centro recreativo se tienen dos piscinas en forma de circunferencias tangentes exteriores entre sí. El radio de la circunferencia más pequeña se identifica como "R" en la figura, y el radio de la circunferencia más grande es igual al diámetro de la circunferencia pequeña (es decir, el doble de R).

Se desea instalar un puente recto a través de estas piscinas para que los visitantes puedan observar a los peces. El puente se construirá tomando como referencia la longitud del segmento que contiene una cuerda de la circunferencia más grande que pasa por el centro de esta (un diámetro) y se prolonga hasta el centro de la circunferencia pequeña.

Para esta situación, ¿cuál es la longitud del puente expresada en función de R?

En la figura se observa un terreno circular donde se ha marcado el recorrido de un circuito de competencia de motos que se inicia en el punto A. En la circunferencia se ubican los puntos B, C, D y E (con D junto a una tribuna rectangular adyacente a la circunferencia), formando ángulos inscritos marcados como θ y 2θ según se indica en la figura. Si AB = DE y CD = 400 m, halle la longitud del tramo $\overline{AD}$ en metros.

En el interior de un terreno que tiene la forma de un triángulo isósceles ($AB = BC$) se desea construir una fuente de forma circular, tangente a los tres lados del terreno. Si $AM = 3$ m (siendo $M$ el punto de tangencia sobre $AB$) y el radio de la fuente es $1$ m, halle $MB$ en metros ($M$, $N$ y $Q$ son puntos de tangencia sobre $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente).

Una casa de retiro tiene dos ventanas circulares congruentes, dispuestas una encima de la otra y unidas por una franja vertical, tal como se muestra en la figura. Un soporte conecta el punto A (a la derecha) con los puntos B y C de la circunferencia superior, siendo B y C puntos de tangencia entre esa circunferencia y los soportes AB y AC. Si la medida del arco BPC (el arco mayor que pasa por P, en el lado opuesto a A) es igual a cinco veces la medida del angulo <BAC, halle la medida del angulo que determinan los soportes AB y AC.

La figura representa una región de cultivo que tiene la forma de un círculo dividido en zonas de sembríos. Si $m\widehat{BC} = 50°$, $m\angle BNC = 40°$ y O es circuncentro del triángulo ABC, halle la medida del ángulo AOC que forman los linderos $\overline{AO}$ y $\overline{OC}$.

La figura muestra una circunferencia con puntos A, B, C sobre ella, M también sobre la circunferencia, O como circuncentro (centro), y N como la intersección de las cuerdas AC y BM en el interior.

La figura representa un adorno transparente en elaboración, que, inicialmente, parte de la forma de una esfera. Luego de retirar el segmento esférico inferior de altura $\overline{HM}$, el adorno queda terminado y con una base. Si en una sección circular máxima de la esfera se inscribe una región triangular equilátera ABC de área $12\sqrt{3}$ cm² y $HM = 1$ cm, halle el volumen, en centímetros cúbicos, del sólido que fue retirado para terminar el adorno.

Nota: Considere O como centro de la esfera.

Cinco amigos salen a jugar al parque y se ubican en los puntos correspondientes a la primera letra de su nombre (A, B, C, D, E). Ernesto (E) está en una posición de manera que su distancia hacia Carlos (C), Abel (A), Beto (B) y David (D) es la misma, formando un cuadrilátero ABCD con E como punto interior equidistante de sus cuatro vértices. Si $m\angle ADC = 132^\circ$, calcule $m\angle ABC$.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones:

I. Si dos circunferencias no congruentes son tangentes exteriores, entonces los segmentos tangentes no comunes trazados desde un punto exterior a ambas son congruentes.

II. Si dos circunferencias no congruentes son tangentes, entonces toda recta que contiene al punto de tangencia, secante a ambas circunferencias, determina, sobre cada una de ellas, arcos que tomados de dos a dos son de igual medida en grados sexagesimales.

III. Desde un punto exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes. Si se traza la recta bisectriz del ángulo determinado por dichas rectas, entonces el cuadrilátero determinado por los puntos de tangencia y los puntos de intersección de la bisectriz con la circunferencia es un trapezoide simétrico.

Indique la secuencia correcta.

El área de un círculo es $25\pi$. ¿Cuál es su radio?

¿Cuál es el perímetro (longitud) de una circunferencia de radio 7? Usa $\pi \approx 22/7$.