Identidades trigonométricas

Simplifique

Sean "$a$", $r \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, tal que:

$a\cos(72°)+r\,\text{sen}(72°)=0$

Calcule el valor aproximado de:

$\frac{a\tan(19°)-r}{a+r\tan(19°)}$

Considere la igualdad $10\cos(2\alpha) - 13\cos(3\alpha) + 2\,\text{sen}\left(\frac{5\alpha}{2}\right)\text{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 0,$ donde $\alpha \notin \left\{(2k+1)\dfrac{\pi}{6}; k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Calcule $\dfrac{11}{28}[\sec(\alpha)+\sec(3\alpha)]$.

Se define $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la regla de correspondencia

$f(x) = 2\text{sen}(\cos(x)) + 2\text{vers}(\cos(x)) + 2\text{cov}(\cos(x)) - 1$

Determine el rango de f.

Si $\text{sen}(\alpha) = \dfrac{\tan(\pi/6)+\text{sen}(\pi/3)}{\sqrt{1+\sec^2(\pi/4)}}$,

calcule $\dfrac{\cos(\alpha)+\tan(\alpha)}{\cos(\alpha)-\tan(\alpha)}$.

Al ser consultado por la edad de su hijo, Luis responde: «El número que representa la edad de mi hijo puede ser calculado si en la expresión $\left(\frac{\tan 13x-\tan 8x-\tan 5x\tan 13x\tan 8x}{\operatorname{sen}5x}\right)$ el valor de "x" es igual a $\dfrac{\pi}{15}$». ¿Cuántos años tiene el hijo de Luis?

En su testamento, un padre deja cierta cantidad de dinero, en miles de soles, para ser repartida entre sus dos hijos. El mayor recibirá S/ 20 000 (cos(A + 30º) + cos(B + 30º)) y el menor, S/ 30 000 (sen(A + 60º) + sen(B + 60º)), donde A + B = 60º. Determine la razón entre las cantidades de dinero que recibirán los hermanos (mayor entre menor).

Para celebrar su centenario, la directiva de un club deportivo invirtió $20(\csc(3x) + \sin(3x))$ mil soles. Si $\csc(3x) - \sin(3x) = \sqrt{12}$, con $0 < x < \dfrac{\pi}{3}$, ¿qué monto invirtió la directiva del club?

La figura muestra un sistema de coordenadas rectangulares XY cuya única escala es 10 cm. Sobre el origen de coordenadas se ubica una hormiga, la cual se dirige en línea recta al punto P(A,B), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación $8\,\mathrm{sen}^3x\cos x = \dfrac{A}{2}\mathrm{sen}\,2x + \dfrac{B}{3}\mathrm{sen}\,4x$. Determine, en centímetros, la distancia recorrida por la hormiga.

Luis dicta clases por un pago diario de 100M soles, donde M está dado por la siguiente expresión: $M = \dfrac{1}{\sin 10°} - 4\cos 20°$. ¿Cuánto recibió por dictar clases durante 5 días?

Se pide obtener el valor de la expresión: $M=\dfrac{4\,\text{ctg}\,16°+2\,\text{tg}\,8°+\text{tg}\,4°}{\text{ctg}\,4°}$

En la figura adjunta, si ABCD es un rectángulo, exprese el área de la región sombreada en términos de θ. (O: centro de la semicircunferencia y T es punto de tangencia).

Desde su teléfono móvil, Lucía le transfiere a su amiga Karla el monto de $(6k^2 + 1)$ soles. Si $k \cdot \text{sen}\,112° = \cos 7° + \text{sen}\,7° + \sqrt{6}\cos 52°$, ¿cuántos soles recibe Karla por tal transferencia?

La temperatura del medio ambiente de una ciudad es $T = (3a+1)^b$ grados centígrados, donde $a$ y $b$ ($a<b$) son los extremos del intervalo que representa el rango de $f(x) = \dfrac{6\cos x+10-\sin^2 x}{\cos^2 x+5\cos x+6}$. Calcule la temperatura de la ciudad en ese instante.

Un profesor de Matemática dijo a sus alumnos de la Escuela de Tecnología Médica que el precio, en soles, de un microscopio está dado por $(40M + 1200)$, donde $M$ es el valor que toma la función $f(x) = \dfrac{4\sec x - 2}{1-4\sec^2 x}, \quad \dfrac{2\pi}{3}\le x \le \dfrac{5\pi}{4}$ cuando el $\sec x$ toma su máximo valor. Halle el valor, en soles, del microscopio.

Un médico le indica a su paciente que debe aplicarse un preparado dermatológico cada $n$ horas, donde $n=2\cos2\theta+10\text{sen}2\theta$. Si $2\sec\theta\cdot\csc\theta=\cot\theta+5$ y el tratamiento dura 6 días, ¿cuántas veces el paciente se aplicó el preparado durante su tratamiento?

Si $\text{sen}^4x+\cos^4x+\text{sen}^6x+\cos^6x=a$, determine $\text{sen}^2x\cdot\cos^2x$ en términos de "a".

Sabiendo que: $\tan(40°+\alpha)\cdot\text{sen}(50°-\alpha)=\cos(10°+\alpha)$

y

$\tan(2\alpha-5°)\cdot\tan(b)=\tan1°\cdot\tan2°\cdot\tan3°\cdots\tan89°$

Calcule: $w=\sec^2(2\alpha+5°)+\tan^2(b+5°)+\csc^2(-\alpha+b-5°)$

Simplifique:

$W=\frac{(\cos\alpha-\text{sen}\alpha)(\sec\alpha+\csc\alpha)}{(\tan\alpha-\cot\alpha)}$