Trigonometría

La ganancia de Antonella en una transaccion comercial que hizo fue $\dfrac{7A}{\pi}$ miles de soles, donde $A$ es, aproximadamente, la suma de los valores de $x$ que satisfacen la ecuacion:

$10\,\text{sen}^2(x) = 3-\text{sen}(x), \quad \text{con } 0\le x\le 2\pi$

¿Cual fue su ganancia?

El profesor Ralph le dice a su hijo Gabriel: «Te voy a comprar la ropa deportiva que prefieres si me das la suma correcta, en grados sexagesimales, de los siguientes angulos:

M = 28°;

U = 50^g (grados centesimales);

N = 40^g (grados centesimales);

I = pi/6 rad».

Si Gabriel recibio su ropa deportiva, ¿cual fue su respuesta (es decir, cual es la suma correcta)?

Un terreno tiene forma de trapecio rectangular ABCO. Si $2\tan\theta = 1$, calcule, en metros cuadrados, el área de dicho terreno, sabiendo que $C(-120;0)$ y $A(-40;n)$.

La temperatura del medio ambiente de una ciudad es $T = (3a+1)^b$ grados centígrados, donde $a$ y $b$ ($a<b$) son los extremos del intervalo que representa el rango de $f(x) = \dfrac{6\cos x+10-\sin^2 x}{\cos^2 x+5\cos x+6}$. Calcule la temperatura de la ciudad en ese instante.

En un triángulo escaleno ABC con $AB=c$, $BC=a$ y $AC=b$, se cumple que $(a+b)\tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=k(a-b)$. Una empresa decide invertir $(4k+7)$ miles de soles para mejorar su sistema informático. Si $9\tan(A-B)=40$, ¿cuánto invirtió dicha empresa, en soles?

Un profesor de Matemática dijo a sus alumnos de la Escuela de Tecnología Médica que el precio, en soles, de un microscopio está dado por $(40M + 1200)$, donde $M$ es el valor que toma la función $f(x) = \dfrac{4\sec x - 2}{1-4\sec^2 x}, \quad \dfrac{2\pi}{3}\le x \le \dfrac{5\pi}{4}$ cuando el $\sec x$ toma su máximo valor. Halle el valor, en soles, del microscopio.

Juan Carlos le regaló a su hija un terreno, el cual tiene forma de sector circular con radio $r = 20\sqrt{14}$ m, tal como se muestra en la figura (un sector circular OAB, donde B es el punto más alto, con la altura desde B hasta el segmento OA igual a $20\sqrt{7}$ m). Si Juan Carlos compró el terreno a razón de $10 por metro cuadrado, ¿cuántos dólares pagó en total?

Dato: $\pi = 3{,}14$

Nota: Este ejercicio requiere una imagen/figura (la gráfica de P(t) con el punto de paso (10, 25000√2)) del PDF original que no ha sido extraída. Debe añadirse manualmente antes de importar.

Bajo condiciones normales de uso, el valor de un auto eléctrico producido por la empresa Chaski Motors está dado por la función P: [0,20] → ℝ, cuya regla de correspondencia es P(t) = A·cos(Bt), donde "t" está determinado por el número de años transcurridos desde la compra del automóvil, y 0 < B ≤ π/30. Se sabe, según la gráfica, que P(0) = 50 000 (precio inicial) y que P(20) = 0 (precio nulo a los 20 años), pasando además por el punto (10, 25 000√2).

Indique el tiempo, en años, que debe pasar desde la compra del automóvil para que su precio sea igual al 60 % del precio inicial.

Nota: Este ejercicio requiere imágenes/figuras (las 5 alternativas gráficas A-E) del PDF original que no han sido extraídas. Deben añadirse manualmente antes de importar.

Fiorella desea bosquejar la función $f(x) = \dfrac{6}{\pi}\text{arccot}(1-x) + 2$. Con las indicaciones adecuadas, ¿cuál es la gráfica correcta de esta función? (Se presentan 5 alternativas gráficas, cada una mostrando una curva con distintas asíntotas horizontales y un punto de paso marcado).

Nota: Este ejercicio requiere una imagen/figura (el sector circular dividido en las regiones S₁ y S₂, con radios r y R) del PDF original que no ha sido extraída. Debe añadirse manualmente antes de importar.

Una región tiene la forma de sector circular y se divide en dos regiones, S₁ y S₂: S₁ es el sector circular interior de radio r y ángulo θ, y S₂ es la corona que se extiende desde r hasta R, con el mismo ángulo θ. Si "r" es a R como 1 es a 3, calcule la proporción entre las áreas de las regiones S₁ y S₂.

Un médico le indica a su paciente que debe aplicarse un preparado dermatológico cada $n$ horas, donde $n=2\cos2\theta+10\text{sen}2\theta$. Si $2\sec\theta\cdot\csc\theta=\cot\theta+5$ y el tratamiento dura 6 días, ¿cuántas veces el paciente se aplicó el preparado durante su tratamiento?

La figura representa un terreno circular, donde la región triangular ABC se destina para un proyecto de ingeniería. Si el radio de la circunferencia mide 68 cm y $8\csc\theta=17\cos(\pi)$, calcule el área de la región destinada al proyecto.

Un ingeniero civil se encuentra diseñando una placa cuadrangular de acero de lado 8 unidades (u), que será utilizada como parte de una estructura metálica para un puente. Los vértices de la placa están identificados como A, B, C y D, formando un cuadrado. Para reforzar la placa, se ha colocado un tensor metálico que une el punto T con el vértice A. Asimismo, desde el vértice B se ha colocado otro cable que se une con el punto M, que es el punto medio del lado CD. El ingeniero necesita calcular la medida del ángulo $\alpha$ (ver figura) para evaluar la tensión angular entre los elementos. Si CT = 2 u, calcule el valor de $4\tan(\alpha)$.

Calcule el valor de C para que se cumpla la siguiente igualdad:

$\text{sen}^{-1}\left(\frac{2x+1}{3}\right)=C-2\text{sen}^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{3}}\right)$

Dada la función "f" definida por:

$f(x)=e^{2\cos^2(x)+3\cos(x)+\frac{1}{8}}$

Calcule el mínimo valor de "f".

Dada la hipérbola de ecuación:

$\frac{(y-7)^2}{3^2}-\frac{(x-4)^2}{4^2}=1$

Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los focos de la hipérbola y por un extremo de su eje conjugado.

En la figura adjunta AOB, BMC, CND, ... son sectores circulares cuyos radios miden $R_1, R_2, R_3, ...$ y sus ángulos centrales miden $\theta_1, \theta_2, \theta_3, ...$, respectivamente. Si $R_1=80$ cm y $\theta_1=\dfrac{\pi}{86}$ rad; además:

$\theta_1=4\theta_2=7\theta_3=10\theta_4=13\theta_5=...$ ;

$R_1=7R_2=10R_3=13R_4=16R_5=...$

Calcule $L_1+L_2+L_3+...+L_{13}$.

De la figura adjunta, calcule

$\sqrt3\cot(\theta)-11\sqrt3\tan(\theta)$.

Determine la variación de la expresión:

$-\cos(\theta)-\text{sen}(\theta)-\sqrt{1-2\text{sen}(\theta)\cos(\theta)}$

sabiendo que $\theta\in\left(\pi;\dfrac{5\pi}{4}\right)$.

Determine el conjunto solución $(x;y)\in\mathbb{R}^2$ con $x>1$, tal que verifiquen el siguiente sistema de ecuaciones:

$(\ln(x))\cdot\text{sen}(y)=-1$

$(\ln(x))\cdot\cos(y)=0$