Álgebra

Resuelva la ecuación

e indique el valor de $x$.

¿Cuál es la relación entre los números reales $x$ e $y$ para que el número complejo

sea un número imaginario puro?

La región admisible está determinada por

Determine el punto $(x_0,y_0)$ que minimiza

Indique como respuesta $x_0+y_0$.

Calcule el valor de la serie

Sea $A$ una matriz cuadrada. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. Si $A$ es antisimétrica, entonces puede tener un elemento no nulo en su diagonal principal.

II. La matriz $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica con una antisimétrica.

III. Si $A$ puede expresarse como la suma de una matriz simétrica $B$ con una antisimétrica $C$, entonces existe una matriz antisimétrica $M\ne C$ y una matriz simétrica $N\ne B$ tales que $A=M+N$.

Marque la alternativa que contenga la secuencia correcta.

Determine el conjunto solución de la inecuación:

$\sqrt{x^2+4x+15} < x+1$

La expresión $z = 3x - 4y$ es la función objetivo de un problema de programación lineal (minimización), donde la región factible es la región triangular sombreada con vértices en $(0;0)$, $(0;2)$ y $(3;0)$.

¿Cuál de las siguientes expresiones puede reemplazar a $z = 3x - 4y$ para obtener la misma solución óptima?

La gráfica del polinomio $P$ con regla de correspondencia:

$P(x) = ax^2 + bx + c$

pasa por los puntos $(0;4)$, $(1;5)$ y $(2;12)$. Determine $v$, si $(3;v)$ pertenece a la gráfica del polinomio.

Encuentre los pares ordenados $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ que son solución del sistema de ecuaciones:

$x^2+y^2=16 \quad \wedge \quad y=\frac{x^2}{6}$

Dada la hipérbola de ecuación:

$4x^2-24x-y^2-4y+41=0,$

calcule las coordenadas del vértice que se encuentra más cerca al origen de coordenadas.

Se tiene la ecuación matricial:

$A^{-1} X A^{-1} = I, \quad I \text{ matriz identidad;} \qquad A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Calcule $X + 9X^{-1}$. Dé como respuesta la suma de sus elementos.

Sea el problema: $P: \min(3x_1 - 4x_2)$ $(x_1; x_2) \in C$ Si $C = \{(x_1;x_2)/A\bar{x} \leq b\}$, $A$ es una matriz de $2\times2$, $b \in \mathbb{R}^2$, $\bar x = (x_1;x_2)$. Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si $\bar x$ es solución del problema P, entonces $\bar x$ puede pertenecer al interior de C.

II. En cada vértice $\mu$ del conjunto C se cumple $A\mu \leq b$.

III. En cada punto $w$ del interior de C se tiene $Aw < b$.

Indique la secuencia correcta.

Sea: $M = \{x \in \mathbb{Z} \mid ||x-1|-1|-2 > 0\}$ Calcule la suma de los elementos de $\mathbb{Z} \setminus M$.

Si se sabe que $a + b + c = 1$, halle el determinante de: $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}$

El esquema adjunto representa 4 centros de producción y 4 calles que las conectan por donde circulan vehículos en el sentido de la flecha.

Con base en dicho esquema, se asocia una matriz $A = (a_{i,j})$; $i,j: 1,2,3,4$, definida como $a_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{Si el centro } i \text{ es el origen de la calle } j \\ -1, & \text{Si el centro } i \text{ es destino de la calle } j \\ 0, & \text{En cualquier otro caso} \end{cases}$

Determine la matriz A.

Determine si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Un polinomio de coeficientes racionales puede tener raíces complejas.

II. Sea $P(x)$ un polinomio de coeficientes reales que cumple $P(x) = -P(-x)$. Si $z \in \mathbb{C}$ es raíz de $P(x)$, entonces $-\bar z$ también lo es.

III. Sea $P(z)$ un polinomio de coeficientes complejos. Si $z$ es raíz de $P(z)$, $\bar z$ también lo es.

Indique la secuencia correcta.

Sea $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ y el conjunto: $S = \left\{x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \;\middle|\; f(x) \leq \frac{1}{2}\right\}$ Además, $g(x) = 2x_0 f(x) + b$, donde $x_0$ es tal que $f(x_0)$ es máximo sobre $S$ y $g(3) = 5$. Determine el valor de $g(2) + b$.

En un partido de básquetbol, el equipo local derrotó por una diferencia de K = a + n puntos al equipo visitante, donde "a" y "n" son dados por el desarrollo del binomio $(x^{a}+y^{11})^{n}$ con "a", "n" $\in \mathbb{N}$, cuyo único término central tiene por variables a $x^{50}y^{110}$. A partir de estos datos, ¿por cuántos puntos de diferencia ganó el equipo local?

En un restaurante, la mesa número "n" realiza un pedido especial del plato bandera de dicho local. Si "n" es dado por la condición $\operatorname{traza}(A^n) = 244$, donde $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 3\end{pmatrix}$, halle el número de la mesa.

Considere que la traza de una matriz cuadrada $B=(b_{ij})_{m\times m}$ de orden $m\times m$ es la suma de los elementos de su diagonal principal; es decir, $b_{11}+b_{22}+b_{33}+\dots+b_{mm}$.

La escala de Richter es dada por el modelo $M=\log_{10}\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, donde A es la amplitud de la onda sísmica máxima del sismo, y $A_0$ es una amplitud de referencia que corresponde a la magnitud M = 0. La intensidad del sismo es dada por $\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$. En 2007 hubo un sismo de magnitud 8 que sacudió el sur del Perú y, al día siguiente, se dio una réplica de magnitud 7. En comparación con su réplica, ¿cuántas veces se multiplicó la intensidad del sismo?