Habilidad Lógico-Matemática

En una cuadricula de 3x3 se deben escribir numeros enteros positivos diferentes en cada casilla, de modo que la suma de los numeros escritos en cada fila, cada columna y cada una de las dos diagonales (formadas por tres casillas) de siempre el mismo resultado (es decir, se trata de un cuadrado magico de orden 3). En la casilla superior izquierda se ubica el valor "x"; en la casilla central se ubica el valor "y"; y en la casilla central de la fila del medio, a la derecha de "y", se ubica el valor "z".

Se quiere determinar que numero entero debe ir en cada una de las nueve casillas, a partir de la siguiente informacion:

I. El valor de x es 10.

II. El valor de y es 11.

III. El valor de z es 2.

Para resolver el problema,

Pedro, Jose, Manuel, Cesar y Andres participaron en un certamen de natacion. Se sabe que, al finalizar el certamen, no hubo empates. Uno de los jueces, que no estuvo atento al certamen, pregunto a cuatro de ellos en que puesto habian llegado, a lo que cada uno contesto de la siguiente manera:

• Jose: «Pedro llego en tercer lugar. Manuel llego cuarto».

• Pedro: «Manuel llego en ultimo lugar. Cesar llego tercero».

• Cesar: «Pedro fue el primero en llegar. Jose llego tercero».

• Manuel: «Cesar llego en quinto lugar. Andres llego segundo».

Si cada uno de ellos respondio una verdad y una mentira, aunque no necesariamente en ese orden, ¿quien llego primero y quien ultimo, respectivamente?

La figura 1 representa un pedazo de madera en el que se han dibujado 20 cuadrados congruentes, dispuestos en una cuadricula de 4 filas por 5 columnas. En algunos de esos cuadrados se han escrito las letras X y T (fila superior, columnas 1 y 5), S y O (fila 3, columnas 3 y 4) y E e I (fila inferior, columnas 1 y 5). La figura 2 muestra las mismas letras ya separadas en casillas individuales, formando la secuencia E, X, I, T, O, S. Si se dispone de una sierra lo suficientemente larga que puede realizar cortes rectos que atraviesan toda la pieza, ¿cuantos cortes rectos, como minimo, seran necesarios para separar la madera en piezas que permitan formar exactamente los seis cuadrados independientes de la figura 2?

Claudia y sus amigas pintaron de gris algunas latas y otras no, y luego las acomodaron formando una piramide (varias filas de latas apoyadas unas sobre otras), tal como se muestra en la figura. Ella dispone de una pelota de trapo y tiene la instruccion de lanzarla cada vez contra una y solo una de las latas; cuando una lata es impactada, cae junto con todas las que sirve de soporte (es decir, todas las que estan apoyadas encima de ella). ¿Cuantos lanzamientos, como minimo, tendra que acertar para derribar todas las latas pintadas de gris?

Carlos apilo siete dados convencionales e identicos sobre una mesa formando dos torres adyacentes (una de 2 dados y otra de 5 dados), como se muestra en la figura. Se sabe que la suma de la cantidad de puntos de cualquier par de caras en contacto (entre dos dados apilados) es seis. Ademas, como se muestra, dos de las caras de los dados inferiores (los que estan en contacto con la mesa) tienen un punto cada una y otra cara tiene tres puntos, en tanto que las restantes caras de estos dados y las caras de los demas dados fueron cubiertas (no visibles). Determine la suma minima de la cantidad de puntos que tienen las caras superiores marcadas con las letras M y N.

Miguel tiene 216 cubos pequenos. Pega algunos de ellos para formar un cubo grande con doce tuneles rectos que atraviesan el cubo grande completamente (cuatro tuneles en la direccion del largo, cuatro en la del ancho y cuatro en la de la altura), como se muestra en la figura. ¿Cuantos cubos pequenos le sobraron (es decir, no fueron usados para construir la pieza con tuneles)?

Carlos ha construido una pieza plana con ocho laminas cuadradas de $4\ \text{cm}$ de lado cada una, formando una figura tipo "marco" (un cuadrado grande de $3\times3$ laminas al que se le ha quitado la lamina central). Esta pieza ha sido colocada sobre una mesa, y se ha ubicado un vertice $V$ en la esquina inferior derecha de la figura. Carlos se dispone a girarla sobre la superficie de la mesa, fijando como punto de giro el vertice $V$, en sentido horario, un angulo de $90°$. ¿Cual es el perimetro de la region generada por la pieza plana durante ese giro?

Dato: cada lamina cuadrada tiene lado $4\ \text{cm}$, por lo que la pieza completa (el "marco") mide $12\ \text{cm}\times12\ \text{cm}$ por lado.

Las figuras muestran la vista frontal, el perfil derecho y la vista horizontal de un sólido de volumen máximo. Halle el número de caras de dicho sólido.

Luciano hace rodar una lámina circular, cuyo radio mide $2$ cm, sobre una trayectoria formada por segmentos rectos y dos semicircunferencias de radio $r$, desde el punto A hasta el punto F. Si $AB = DE = 20$ cm, $BC = CD = 18$ cm, $EF = 16$ cm, halle la menor longitud, en centímetros, que recorre el centro de la lámina circular.

Se tiene un juego completo de fichas de dominó (28 fichas). Se deben escoger 6 fichas para colocarlas en las posiciones que se indican en la figura, de tal manera que la suma de los puntos de la parte superior sea el cuádruplo de la suma de los puntos de la parte inferior. Halle el mínimo valor de la suma total de puntos que hay en las 6 fichas.

En ajedrez, el caballo se desplaza en forma de «L». ¿Cuál es el menor número de movimientos que necesita el caballo para ir desde su posición actual hasta la casilla marcada con F, llegando primero a la casilla P?

Algunas personas en una sala dicen siempre la verdad y las demás mienten siempre. Tres personas afirman:

1.ª «No hay más de seis personas en esta sala. Todos somos mentirosos».

2.ª «No hay más de siete personas en esta sala. Algunos son mentirosos». ]

3.ª «Hay ocho personas en esta sala. Por lo menos tres son mentirosos».

¿Cuántas personas hay en la sala y cuántas de ellas mienten, respectivamente?

Carla dobla dos veces una hoja cuadrada de papel exactamente en tres partes iguales; después, dobla dos veces exactamente en tres partes iguales la hoja antes doblada y, finalmente, corta el resultado dos veces por la mitad. Luego de desplegar todo, ¿cuántas de las piezas que obtuvo tienen la forma de un cuadrado?

El cuarto término de una progresión aritmética es 9, y el noveno término de la misma progresión es −6. ¿Cuántos términos tiene en total si la suma de términos es −21?

El número de páginas de un libro está comprendido entre 500 y 600; si se cuentan de 3 en 3, de 5 en 5 y de 7 en 7, sobran 2, 4 y 6 respectivamente. Encuentre el número de páginas de dicho libro.

Diego ubicó ocho fichas de un juego completo de dominó (28 fichas), respetando la regla del juego (casillas adyacentes de fichas contiguas tienen el mismo número de puntos). Luego, su hermana Mayra se llevó cuatro fichas de los lugares punteados, como muestra la figura. Si la suma de la cantidad total de puntos de las ocho fichas era 57, ¿cuál es el mínimo número de puntos que había en la ficha ubicada en el lugar sombreado?

Carlos quiere escribir números enteros del 1 al 16 en las casillas cuadradas de la figura adjunta, un número en cada casilla, sin repetición. Además, quiere que la suma de los números escritos en cada una de las cinco casillas de cada lado del cuadrado resulte en la misma cantidad. Halle el mayor valor que puede tomar dicha suma y dé como respuesta la suma de las cifras de dicha cantidad.

En una hoja cuadriculada suficientemente grande, Killa escribe las cifras de la secuencia

$1\ 2\ 3\ 4\ 1\ 2\ 3\ 4\ 1\ 2\ 3\ 4\ 1\ 2\ 3\ 4\ \dots$

En cada celda de la cuadrícula, escribe un número empezando en la celda central más sombreada, en la que está la cifra 1, y sigue en espiral, sin obviar ninguna celda, tal como se observa en la figura. ¿Cuál es la suma de las cifras escritas en las celdas no sombreadas 50 y 100 por encima de la celda central más sombreada? Considere que las celdas por encima de la celda central más sombreada significan lo siguiente: en la celda no sombreada 1 está la cifra 4, en la celda no sombreada 2 está la cifra 3, en la celda no sombreada 3 está la cifra 2 y así sucesivamente.

Arturo y Benito lanzan pelotas a dos pirámides idénticas (forma y numeración) de 36 latas cada una. Arturo tumbó 12 latas y obtuvo 49 puntos en las latas que tumbó; además, su pirámide quedó como se ve a la izquierda. Benito tumbó 10 latas y su pirámide quedó como se ve a la derecha. ¿Cuántos puntos obtuvo Benito con las latas que tumbó?

De un tronco de madera, se ha construido un cilindro circular recto compacto de 5 cm de radio y $40\pi$ cm de altura. Los puntos M y N del cilindro están en la misma línea vertical. Una partícula se encuentra en el punto N y, para llegar al punto M, dio tres vueltas por la superficie lateral del cilindro, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud mínima del recorrido de la partícula.